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        弯曲的捷径
         

        弯曲的捷径

        【实验目的】

        探究物体运动时速度、时间与路程之间的关系。

        【实验装置】

        实验装置如图所示。

        【注意事项】

        【演示与现象】

           将两个同样的小球放在两条轨道的顶端,同时释放,在凹陷轨道上运动的球先到达底部。

        【实验原理】

        起点高度相同,终点高度相同,小球的质量和体积也相同,同时出发,走弯路的小球比走直线的先到达终点。问题的关键就在于小球的速度。在轨道前半部分,曲线轨道比直线轨道“陡峭”得多,在重力的作用下,小球在曲线轨道上滚动比在直线轨道上先达到最大的速度,所以尽管曲线轨道比直线轨道长,但是走曲线的小球却能够先到达。并非曲线轨道弯曲得越厉害,上面的小球就会越早到达终点,因为假如曲线轨道弯曲得太厉害了,它的长度就会增加很多,小球的速度优势就会被路程的增加所抵消。

        两点之间的直线只有一条,而曲线却有无数条。到底走哪条曲线需要的时间最短呢?答案是,小球滚落时间最短的曲线是一条旋轮线。

        【拓展】

        http://www.ccppg.com.cn/baokan/womenaikexue/jingdiandaodu/2009-04-27/92888.html

        附录:变分法求解最速降线问题

        AB是铅直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结AB的平面曲线中,求一曲线,使质点在仅受重力作用,初速度为零时,沿此曲线从A滑行至B的时间最短。

        求解过程  A点取为坐标原点,B点取为,如图所示。根据能量守恒定律,质点在曲线上任意点处的速率满足(为弧长)

        ,将带入得

        于是质点滑行时间应表示为的泛函

        端点条件为

        最速降线满足欧拉方程,因为

        不含自变量,所以方程(8)可写作

        (注:方程(8

        等价于

        作一次积分得

        ,则方程化为

        又因

        积分得

        由边界条件,可知,故得

        http://www.docin.com/p-192943.html#docTitle

         

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        电话:0555-2315212  邮编:243032

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