弯曲的捷径
【实验目的】
探究物体运动时速度、时间与路程之间的关系。
【实验装置】
实验装置如图所示。
【注意事项】
【演示与现象】
将两个同样的小球放在两条轨道的顶端，同时释放，在凹陷轨道上运动的球先到达底部。
【实验原理】
起点高度相同，终点高度相同，小球的质量和体积也相同，同时出发，走弯路的小球比走直线的先到达终点。问题的关键就在于小球的速度。在轨道前半部分，曲线轨道比直线轨道“陡峭”得多，在重力的作用下，小球在曲线轨道上滚动比在直线轨道上先达到最大的速度，所以尽管曲线轨道比直线轨道长，但是走曲线的小球却能够先到达。并非曲线轨道弯曲得越厉害，上面的小球就会越早到达终点，因为假如曲线轨道弯曲得太厉害了，它的长度就会增加很多，小球的速度优势就会被路程的增加所抵消。
两点之间的直线只有一条，而曲线却有无数条。到底走哪条曲线需要的时间最短呢？答案是，小球滚落时间最短的曲线是一条旋轮线。
【拓展】
http://www.ccppg.com.cn/baokan/womenaikexue/jingdiandaodu/2009-04-27/92888.html
附录：变分法求解最速降线问题
设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结A和B的平面曲线中，求一曲线，使质点在仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从A滑行至B的时间最短。
求解过程 将A点取为坐标原点，B点取为
，如图所示。根据能量守恒定律，质点在曲线
上任意点处的速率
满足（
为弧长）
，将
带入得
于是质点滑行时间应表示为的泛函
端点条件为
最速降线满足欧拉方程，因为
不含自变量
，所以方程（8）可写作
（注：方程（8）
）
等价于
作一次积分得
令
，则方程化为
又因
积分得
由边界条件
，可知
，故得
http://www.docin.com/p-192943.html#docTitle
